SIFAT PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT

Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

Penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.

1) Sifat komutatif

Untuk setiap a dan b sebarang bilangan bulat, berlaku hubungan a + b = b + a.

2) Sifat asosiatif

Untuk setiap a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku hubungan (a + b) + c = a + (b + c).

3) Sifat tertutup

Jika a dan b sebarang bilangan bulat maka a + b juga merupakan bilangan bulat.

4) Unsur identitas

Jika a sebarang bilangan bulat maka a + 0 = 0 + a = a. Bilangan 0 dinamakan unsur identitas pada penjumlahan bilangan bulat.

PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT

Penjumlahan Bilangan Bulat

Dengan menggunakan dua penggaris, Kevin Tara menghitung penjumlahan 2 + 4. Untuk itu, ia meletakkan angka 0 penggaris kedua tepat di atas angka 2 penggaris pertama. Kemudian, ia membaca angka pada penggaris pertama yang terletak tepat di bawah angka 4 penggaris kedua. Angka pada penggaris pertama tersebut adalah angka 6.

Dari peragaan ini, Kevin Tara mendapatkan 2 + 4 = 6.

1. Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Positif

Contoh:

3 + 2 = ….

Dari titik 0, melangkah 3 satuan ke kanan sampai pada bilangan 3.

Dari titik 3, melangkah 2 satuan ke kanan sampai pada bilangan 5.

Garis bilangan tersebut menunjukkan, 3 + 2 = 5.

2. Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif

Contoh:

-2 + (-2) = ….

Dari titik 0, melangkah 2 satuan ke kiri sampai pada bilangan -2.

Dari titik -2, melangkah 2 satuan ke kiri sampai pada bilangan -4.

Garis bilangan tersebut menunjukkan, -2 + (-2) = -4.

Jika penjumlahan (1) dan (2) diperumum, maka akan didapat kesimpulan berikut.

Jika tanda kedua bilangan yang dijumlahkan sama—keduanya positif atau keduanya negatif—, maka hasilnya merupakan jumlah dari kedua bilangan itu dengan tanda yang sama seperti tanda kedua bilangan yang dijumlahkan.

3. Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif

Contoh:

-3 + 6 = ….

Dari titik 0, melangkah 3 satuan ke kiri sampai pada bilangan -3.

Dari titik -3, melangkah 6 satuan ke kanan sampai pada bilangan 3.

Garis bilangan tersebut menunjukkan, -3 + 6 = 3.

4. Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif

Contoh:

5 + (-7) = ….

Dari titik 0, melangkah 5 satuan ke kanan sampai pada bilangan 5.

Dari titik 5, melangkah 7 satuan ke kiri sampai pada bilangan -2.

Garis bilangan tersebut menunjukkan, 5 + (-7) = -2.

Jika penjumlahan (3) dan (4) diperumum, maka akan didapat kesimpulan berikut.

Jika tanda kedua bilangan yang dijumlahkan tidak sama—satu positif dan satunya negatif—, maka hasilnya merupakan selisih antara kedua bilangan tersebut dengan tandanya sama dengan tanda dari bilangan yang lebih besar.

MENGURUTKAN DUA BILANGAN BULAT

Mengurutkan Dua Bilangan Bulat

Di suatu pantai terdapat ikan, penyu, dan bangau.

• Ikan berada pada kedalaman 5 m. Ditulis -5.
• Penyu berada pada kedalaman 7 m. Ditulis -7.
• Bangau berada pada ketinggian 4 m. Ditulis 4.

Mari nyatakan pada garis bilangan bulat.

Tampak bahwa titik 4 terletak di sebelah kanan titik -5 dan titik -5 terletak di sebelah kanan titik -7. Ini berarti, 4 lebih dari -5 dan -5 lebih dari -7, ditulisnya 4 > -5 > -7.

Contoh:

1. Ayo, urutkan bilangan –23, 20, dan 12 mulai dari yang terkecil.

2. Ayo, urutkan bilangan 25, -46, dan -14 mulai dari yang terbesar.

Jawab:

1. -23, 12, 20

2. 25, -14, -46

MEMBANDINGKAN DUA BILANGAN BULAT

Membandingkan Dua Bilangan Bulat

Pada sebuah kolam, terdapat ikan dan bebatuan.
Ikan berenang pada kedalaman 1 cm. Ditulis -1.
Bebatuan ada pada kedalaman 5 cm. Ditulis -5.

        Coba kamu perhatikan, posisi ikan lebih tinggi daripada posisi bebatuan. Ini menunjukkan -1 cm > -5 cm. Berarti pula -1 > -5. Jika bilangan-bilangan tersebut dinyatakan dalam garis bilangan bulat, kamu dapat mengamatinya sebagai berikut.

Tampak bahwa titik -1 terletak di sebelah kanan titik -5, artinya -1 lebih dari -5, ditulis -1 > -5.

Pada garis bilangan bulat tersebut, kamu dapat pula mengamati bahwa:

• titik 3 terletak di sebelah kanan titik -2, artinya 3 lebih dari -2, ditulis 3 > -2.
• titik -4 terletak di sebelah kiri titik 4, artinya -4 kurang dari 4, ditulis -4 < 4.

MENGENAL BILANGAN BULAT

Mengenal Bilangan Bulat

Pak Cerdas Barus baru membeli kulkas. Saat dinyalakan, suhu di ruang pembeku (freezer) 25 ⁰C. Setelah dinyalakan selama 1 jam, ternyata suhunya turun 30 ⁰C menjadi 5 ⁰C di bawah 0 ⁰C.

Bilangan mana yang dapat menyatakan suhu 5 ⁰C di bawah 0 ⁰C ini?

        Di sekolah dasar, kamu sudah mempelajari bilangan cacah. Namun, bilangan cacah tentu saja tidak dapat digunakan untuk menyatakan suhu ini. Untuk itu, diperlukan bilangan yang lebih kecil dari nol. Bilangan ini disebut bilangan negatif. Coba perhatikan garis bilangan berikut.

        Bilangan-bilangan di sebelah kanan bilangan nol, yaitu 1, 2, 3, … disebut bilangan asli atau bilangan bulat positif, sedangkan bilangan-bilangan di sebelah kiri bilangan nol, yaitu …, -3, -2, -1 disebut bilangan bulat negatif. Bilangan -1, -2, dan -3 berturut-turut dibaca negatif satu, negatif dua, dan negatif tiga. Gabungan antara bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif ini membentuk bilangan bulat, dengan bilangan nol sebagai bilangan bulat tidak positif dan juga tidak negatif.

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.

Coba perhatikan kembali garis bilangan bulat tersebut.

        Pada garis bilangan bulat tersebut, titik 1 terletak 1 satuan di sebelah kanan titik 0, sedangkan titik –1 terletak 1 satuan di sebelah kiri titik 0. Dikatakan, bahwa –1 adalah lawan dari 1 dan sebaliknya, 1 adalah lawan dari –1. Bagaimana dengan lawan –4? Lawan dari -4 adalah 4, karena titik 4 terletak 4 satuan di sebelah kanan titik 0 dan titik –4 terletak 4 satuan di sebelah kiri titik 0.

Contoh:

Seorang penyelam melompat dari kapalnya menuju ke dasar laut untuk mengadakan penelitian. Ia berhasil menemukan objek penelitiannya tersebut pada kedalaman 750 m. Dengan menggunakan lambang bilangan bulat, pernyataan kedalaman 750 m dapat ditulis -750 m. –750 dibaca negatif 750.

CONTOH SOAL HUBUNGAN ANTAR SUDUT PADA DUA GARIS SEJAJAR

Contoh 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan banyak sudut yang sehadap.

Penyelesaian:

Contoh 2

Perhatikan gambar berikut.

Penyelesaian:

Contoh 3

Perhatikan gambar berikut.

Penyelesaian:

Contoh 4

Perhatikan gambar berikut.

Penyelesaian:

Contoh 5

Penyelesaian:
Bila garis LM diperpanjang sehingga memotong garis c di titik P dan garis KL diperpanjang sehingga memotong garis d di Q maka terbentuklah pasangan sudut-sudut dalam berseberangan yaitu,

HUBUNGAN ANTAR SUDUT PADA DUA GARIS SEJAJAR YANG DIPOTONG GARIS LAIN

      Bila garis k dan l merupakan dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain misalnya garis m. Garis m akan memotong garis k di titik A dan memotong garis l di titik B. Hal ini menyebabkan terbentuknya sudut-sudut yang kemudian diberi nama sudut 1, 2, 3, dan 4 seperti gambar di bawah ini.

       Bagaimanakah hubungan antarsudut tersebut? Hubungan antarsudut pada dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain yaitu, sudut sehadap, sudut dalam berseberangan, sudut luar berseberangan, sudut dalam sepihak, sudut luar sepihak, dan sudut bertolak belakang. Agar kamu tahu lebih detail lagi, simak penjelasan berikut ini.

• Sudut Sehadap

Sudut $A_1$ dan sudut $B_1$ menghadap ke arah yang sama. Demikian juga sudut $A_2$ dan $B_2$, sudut $A_3$ dan $B_3$, serta sudut $A_4$ dan $B_4$. Sudut-sudut yang demikan dinamakan sudut-sudut sehadap. Sudut sehadap besarnya sama. Dapat dituliskan,

• Sudut Dalam Berseberangan

• Sudut Luar Berseberangan

• Sudut Dalam Sepihak

• Sudut Luar Sepihak

• Sudut Bertolak Belakang

COMTOH SOAL HUBUNGAN ANTAR SUDUT

Contoh 1

Penyelesaian:

Cara Lain

Contoh 2

Penyelesaian:

Contoh 3

Penyelesaian:

Contoh 4

Berdasarkan gambar berikut, nilai r adalah....

Penyelesaian:

PASANGAN SUDUT YANG BERTOLAK BELAKANG

Pasangan sudut yang saling bertolak belakang mempunyai besar sudut yang sama.

CONTOH

Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan nilai t.

Penyelesaian:

PASANGAN SUDUT YANG SALING BERPENYIKU (KOMPLEMEN)

Pasangan sudut dikatakan saling berpenyiku apabila jumlah kedua besar sudutnya adalah 900.

CONTOH 

Perhatikan gambar berikut! Bila b0 = 560, maka tentukan besar a0.

Penyelesaian:

PASANGAN SUDUT YANG SALING BERPELURUS (SUPLEMEN)

Pasangan sudut dikatakan saling berpelurus apabila jumlah kedua besar sudutnya adalah 1800. Berdasarkan gambar disamping, <AOC dan <BOC saling berpelurus dimana,

CONTOH : 

Tentukan besar sudut ATB !

Penyelesaian: