Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Jika pada topik sebelumnya kamu telah belajar tentang operasi yang berlaku pada himpunan, maka pada topik kali ini kamu akan belajar tentang sifat-sifat operasi himpunan.

A. Ketertutupan

Sifat ketertutupan pada operasi himpunan mempunyai makna bahwa hasil dari pengoperasian dua atau lebih himpunan menghasilkan satu penyelesaian berupa himpunan.

B. Sifat Komutatif

Sifat komutatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.

Contoh:

Diketahui dua himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 3, 4}.

Tunjukkan bahwa A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.

Penyelesaian:

A ∩ B = B ∩ A

Perhatikan anggota-anggota pada himpunan A dan B. Anggota A ∩ B merupakan persekutuan dari anggota pada himpunan A dan himpunan B. Anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B adalah 3, 4. Dengan demikian, A ∩ B = {3,4}. Selanjutnya, kita tentukan B ∩ A. Anggota di himpunan B yang terdapat di himpunan A adalah 3, 4. Dengan demikian, B ∩ A = {3, 4}. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∩ B = B ∩ A.

A ∪ B = B ∪ A

Untuk menentukan A ∪ B, kamu dapat menuliskan kembali semua anggota A dan B, yaitu 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4. Oleh karena ada dua nilai yang sama untuk 3 dan 4, maka dapat ditulis satu kali saja, sehingga A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}. Begitu pula untuk menentukan B ∪ A. Dengan menuliskan kembali semua anggota B dan A dengan anggota yang sama ditulis satu kali, yaitu 2, 3, 4, 5, 6, sehingga diperoleh B ∪ A = {2, 3, 4, 5, 6}. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∪ B = B ∪ A.

C. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Contoh:

Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.

Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Penyelesaian:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang sama dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan C yaitu r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B ∩ C yaitu r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Kita tentukan dahulu (A ∪ B) ∪ C.

(A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪ {r, s, t}) ∪ {q, r, s}

(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪ {q, r, s}

(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t}

Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C).

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ ({r, s, t} ∪ {q, r, s})

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ {q, r, s, t}

A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t}

Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

D. Sifat Distributif

Sifat distributif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaituA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Penyelesaian:

Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪ C).

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 2, 3, 4, ..., 10}

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua, dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

E. Sifat Identitas

Sifat identitas yang berlaku pada operasi irisan dan gabungan antara lain:

1. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∩ S = A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∪ S = S

Contoh:

Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan J = {2, 3, 5, 7}. Tentukan:

a. J ∩ ∅

b. J ∩ S

c. J ∪ ∅

d. J ∪ S

Penyelesaian:

S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama)

J ∩ ∅ = ∅

b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∩ S = {2, 3, 5, 7}

J ∩ S = J

c. J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∪ { } (Ingat gabungan dua himpunan didapat dengan menggabungkan semua anggota kedua himpunan tersebut)

J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7}

J ∪ ∅ = J

d. J ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

J ∪ S = S

F. Idempoten

Sifat idempoten yang berlaku pada operasi irisan dan gabungan antara lain:

1. A ∩ A
2. A ∪ A

Contoh:

Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan:

a. K ∩ K

b. K ∪ K

Penyelesaian:

a. K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}

K ∩ K = K

b. K ∪ K = {4, 5, 6} ∪ {4, 5, 6} = {4, 5, 6}

K ∪ K = K

G. Sifat Komplemen

Sifat komplemen pada operasi himpunan hanya berlaku untuk irisan dan gabungan.

1. A ∩ Ac = ∅
2. A ∪ Ac = S
3. (Ac )c = A
4. ∅c = S
5. Sc = ∅

Contoh:

Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6, 8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ Lc .

Penyelesaian:

Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan bagian dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 7}. Dengan demikian, diperoleh:

L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 7}

L ∩ Lc = { }

L ∩ Lc = ∅

Jadi, L ∩ Lc = ∅.

H. Sifat Pengurangan

Operasi pengurangan pada himpunan tidak bersifat komutatif. Oleh karena operasi pengurangan tidak bersifat komutatif, maka tidak bersifat asosiatif maupun identitas yaitu:

1. A - B ≠ B - A

2. A - (B - C ) ≠ (A - B) - C

3. A - ∅ ≠ ∅ - A

Contoh:

Diketahui M = {a, b, c, d, e, f} dan N = {1, a, 2, b, 3, c}. Buktikan bahwa M - N ≠ N - M.

Penyelesaian:

M - N adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan M dan bukan anggota himpunan N.

M - N = {a, b, c, d, e, f} - {1, a, 2, b, 3, c}

M - N = {d, e, f}

N – M adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan N dan bukan anggota himpunan M.

N – M = {1, a, 2, b, 3, c} - {a, b, c, d, e, f}

N – M = {1, 2, 3}

Dengan demikian, terbukti bahwa M - N ≠ N – M.

I. Subset

Subset atau himpunan bagian adalah suatu himpunan yang merupakan bagian dari himpunan utama. Subset dinyatakan dengan lambang “⊂” tetapi jika bukan himpunan bagian dilambangkan dengan “⊄”. Banyaknya anggota himpunan bagian dari K dirumuskan: 2n(K)dengan n(K) merupakan banyaknya anggota himpunan K.

Contoh:

Jika diketahui O = {1, 4, 7}, maka tentukan banyaknya himpunan bagian O.

Penyelesaian:

Diketahui O = {1, 4, 7}, maka n(O) = 3

Banyaknya himpunan bagian O = 2n(O)
Banyaknya himpunan bagian O = 23 
Banyaknya himpunan bagian O = 8

Jadi, banyaknya anggota himpunan bagian dari O ada 8 yaitu { }, {1}, {4}, {7}, {1, 4}, {1, 7}, {4, 7}, {1, 4, 7}.

J. Absorption

Absorption adalah himpunan-himpunan yang bila dioperasikan akan terserap menjadi suatu himpunan tertentu. Absorption dirumuskan sebagai berikut:

A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {0, 3, 4, 5}. Buktikan bahwa A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.

Penyelesaian:

Langkah pertama, kita buktikan dahulu bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.

A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya terdapat di A dan B yaitu A ∩ B = {3}.

A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3} ∪ {3}

A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3}

A ∪ (A ∩ B) = A

Jadi, terbukti bahwa A ∪ (A ∩ B) = A.

Langkah berikutnya, kita buktikan bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.

A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan gabungan semua anggota A dan B yaitu A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3} ∩ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ (A ∪ B) = {1, 2, 3}

A ∩ (A ∪ B) = A

Jadi, terbukti bahwa A ∩ (A ∪ B) = A.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A.

K. Penghilangan

Jika A = B, maka A ∩ C = A ∩ B untuk C suatu himpunan.

Contoh:

Diketahui A = {k, l, m}, B = {k, l, m} dan C = {l, m, n, o}. Buktikan bahwa A ∩ C = A ∩ B.

Penyelesaian:

Langkah pertama, kita tentukan A ∩ C.

A ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}

Langkah kedua, kita tentukan A ∩ B.

B ∩ C = {k, l, m} ∩ {l, m, n, o} = {l, m}

Dengan demikian, terbukti bahwa A ∩ C = B ∩ C untuk C suatu himpunan.

L. Dualitas

Prinsip dualitas berlaku bila kita menukar “∪” dengan “∩”, “S” dengan “∅”, dan sebaliknya. Pernyataan baru tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya.

Contoh:

Diketahui pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A. Tentukan dual dari pernyataan tersebut.

Penyelesaian:

Dual dari pernyataan (A ∪ ∅) ∩ (S ∪ B) = A adalah (A ∩ S) ∪ (∅ ∩ B) = A.